深度学习Softmax回归:

Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 $y$ 可以取两个以上的值。Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/）

回想一下在 logistic 回归中，我们的训练集由 $m$ 个已标记的样本构成：${ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) }$ ，其中输入特征$x^{(i)} \in \Re^{n+1}$。（我们对符号的约定如下：特征向量 $x$ 的维度为 $n+1$，其中 $x_0 = 1$ 对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 $y^{(i)} \in {0,1}$。假设函数(hypothesis function) 如下：

\[\begin{align}h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)},\end{align}\]

我们将训练模型参数 $\textstyle \theta$，使其能够最小化代价函数：

\[\begin{align}J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right]\end{align}\]

在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 $y$ 可以取 $k$ 个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ${ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) }$，我们有 $y^{(i)} \in {1, 2, \ldots, k}$。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有 $k=10$ 个不同的类别。 对于给定的测试输入 $x$，我们想用假设函数针对每一个类别 $j$ 估算出概率值 $p(y=j|x)$。也就是说，我们想估计 $x$ 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 $k$ 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 $k$ 个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数 $h_{\theta}(x)$ 形式如下：

\[\begin{align}h_\theta(x^{(i)}) =\begin{bmatrix}p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\\vdots \\p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta)\end{bmatrix}=\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }\begin{bmatrix}e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\\vdots \\e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\\end{bmatrix}\end{align}\]

其中 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}$ 是模型的参数。请注意 $\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }$ 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号 $\theta$ 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 $\theta 用一个 \textstyle k \times(n+1)$ 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k$ 按行罗列起来得到的，如下所示：

\[\theta = \begin{bmatrix}\mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\\mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\\vdots \\\mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\\end{bmatrix}\]

代价函数

现在我们来介绍softmax回归算法的代价函数。在下面的公式中，$1\lbrace{\cdot\rbrace}$，是示性函数，其取值规则为：$1\lbrace{值为真的表达式\rbrace}=1$，而$1\lbrace{值为假的表达式\rbrace}=0$。举例来说，表达式 $1\lbrace{2+2=4\rbrace}$的值为1 ，$1\lbrace{1+1=5\rbrace}$的值为0。我们的代价函数为:

\[\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right]\end{align}\]

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

\[\begin{align}J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\&= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right]\end{align}\]

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 $k$ 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 $x$ 分类为类别 $j$ 的概率为：

\[p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }.\]

对于 $J(\theta)$ 的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

\[\begin{align}\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] }\end{align}\]

让我们来回顾一下符号 “$\nabla_{\theta_j}$” 的含义。$\nabla_{\theta_j} J(\theta)$ 本身是一个向量，它的第 $l$ 个元素 $\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}$ 是 $J(\theta)$对 $\theta_j$ 的第 $l$ 个分量的偏导数。 有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 $J(\theta)$。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: $\theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)(\textstyle j=1,\ldots,k）$。 当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 $\theta_j$ 中减去了向量 $\psi$，这时，每一个 $\theta_j$ 都变成了 $\theta_j - \psi(\textstyle j=1, \ldots, k)$。此时假设函数变成了以下的式子：

\[\begin{align}p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta)&= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\&= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\&= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}.\end{align}\]

换句话说，从 $\theta_j$ 中减去 $\psi$ 完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 $h_\theta$。

进一步而言，如果参数 $(\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ 是代价函数 $J(\theta)$ 的极小值点，那么 $(\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots,\theta_k - \psi)$ 同样也是它的极小值点，其中 $\psi$ 可以为任意向量。因此使 $J(\theta)$ 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于 $J(\theta)$ 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当 $\psi = \theta_1$ 时，我们总是可以将 $\theta_1$替换为$\theta_1 - \psi = \vec{0}$（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 $\theta_1$ （或者其他 $\theta_j$ 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 $k\times(n+1)$ 个参数 $(\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ （其中 $\theta_j \in \Re^{n+1}）$，我们可以令 $\theta_1 =\vec{0}$，只优化剩余的 $(k-1)\times(n+1)$ 个参数，这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 $(\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)$，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减

我们通过添加一个权重衰减项 $\frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2$ 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

\[\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right]+ \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2\end{align}\]

有了这个权重衰减项以后（lambda），代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为$J(\theta)$是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。 为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 $J(\theta)$ 的导数，如下：

\[\begin{align}\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j\end{align}\]

通过最小化 $J(\theta)$，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数 $k = 2$ 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 $k = 2$ 时，softmax 回归的假设函数为：

\[\begin{align}h_\theta(x) &=\frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } }\begin{bmatrix}e^{ \theta_1^T x } \\e^{ \theta_2^T x }\end{bmatrix}\end{align}\]

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 $\psi = \theta_1$，并且从两个参数向量中都减去向量 $\theta_1$，得到:

\[\begin{align}h(x) &=\frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } }\begin{bmatrix}e^{ \vec{0}^T x } \\e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }\end{bmatrix} \\&=\begin{bmatrix}\frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\\frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } }\end{bmatrix} \\&=\begin{bmatrix}\frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\\end{bmatrix}\end{align}\]

因此，用 $\theta’$来表示$\theta_2-\theta_1$，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 $\frac{1}{ 1 + e^{ (\theta’)^T x^{(i)} } }$，另一个类别概率的为 $1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta’)^T x^{(i)} } }$，这与 logistic回归是一致的。

Softmax 回归 vs. $k$ 个二元分类器

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对$k$种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 $k$ 个独立的二元分类器呢？ 这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 $k = 4$ 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 $k$ 设为5。） 如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。 现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？ 在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

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